Differential Manifolds
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预修课程：高等数学、线性代数、曲线和曲面论

总学时：60学时

课时安排：每周4学时。

课程介绍：

微分流形是以具有微分构造的拓扑空间作为研究对象，实质上是指具有平直性的拓扑空间。所以整个微分流形是由坐标邻域、坐标基、切向量和切丛等概念展开的。在微分流形中，为了讨论流形的性质，常常用所谓“局部坐标基”。微分流形同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分流形互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。并且，微分流形在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分流形的理论。

教学目的和要求：

本课程为数学学科各专业硕士研究生的学科基础课。同时也可作为物理学、力学等专业研究生的选修课。微分流形己成为现代数学研究的基本对象。本课程讲授微分流形与李群的基本知识。通过本课程的学习，希望学生能初步掌握微分流形的基本概念、方法和技巧。为进一步学习微分几何、微分拓扑、几何分析等相关课程打下坚实基础。

内容提要：

第一章 欧氏空间

欧氏空间的基本性质；欧氏空间的映射与微分；逆映射定理；秩定理；隐映射定理。

第二章 微分流形

拓扑流形；微分流形；切空间；切映射；子流形；向量场；单位分解；紧流形的嵌入。

第三章          张量代数

向量空间和对偶空间；张量代数；对称和反对称张量；外代数。

第四章 外微分形式

余切空间和线性微分式；张量场；黎曼度量；外微分形式。

第五章 流形上的积分和Stokes定理

流形的定向；外微分形式的积分；带边流形和诱导定向；Stokes定理及其应用。

第六章 李群初步

线性群；李群和李代数；李群的同态；李子群；指数映射；共轭表示。

主要参考书：

   1.  Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, GTM Vol.94，Springer-Verlag and China Academic Publishers, Beijing,1983.

   2.        陈省身、陈维桓著，《微分几何讲义》，北京大学出版社，北京，1983。