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课程名称：应用泛函分析 Applied
Functional Analysis
开课学院：湖南大学数学与计量经济学院
上课地点：湖南大学逸夫楼
教学方式：上课
总学时：开课学时60
适合专业：数学、力学、管理工程、计算机专业、土木工程
考试方式：笔试
课程作用与任务：
泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。
泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。
泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n维空间可以用来描述具有n个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。
正如研究有穷自由度系统要求
n维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因袭，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。
泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，它是古典分析观点的推广，它综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。
半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象，和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。
泛函分析是现代数学的一个重要分支，随着科学技术的迅速发展，泛函分析的概念、方法已经渗透到数学的各个分支而且日益广泛地被应用于自然科学，工科技术理论和社会科学的各个领域，是必要的数学基础。
本课程主要面向数学及工科非数学专业的研究生，论述了泛函分析的基本内容，方法及应用，是众多领域不可缺少的数学基础。
先修课程：《数学分析》、《高等代数》的基础知识，《实变函数》的基本概念
教学内容与学时分配：
- 绪言(介绍本课程的基础知识，实数系R，集合，实变函数) 3学时
- 距离空间及例子 3学时
- 稠密性，距离空间的完备性 5学时
- 致密性、不动点原理 7学时
- 线性赋范空间及例子 3学时
- 有界线性算子 3学时
- 连续线性泛函的表示及存在性 3学时
- 共轭空间及共轭算子 3学时
- 逆算子定理 3学时
- 闭图象定理 3学时
- 共鸣定理 3学时
- 有界线性算子的正则集与谱 3学时
- 全连续算子 3学时
- Hilbert空间、直交分解、共轭空间与共轭算子 3学时
- 共轭空间与共轭算子，全连续自共轭算子的特征展开 3学时
- 广义函数 3学时
参考文献
1.江泽坚,
吴志泉. 实变函数论. 北京：人民教育出版社，1973
2.叶怀安. 泛函分析. 合肥：安徽教育出版社，1990
3.江泽坚, 孙善利. 泛函分析. 北京：高等教育出版社，1994
4.龚怀云. 应用泛函分析. 西安：西安交通大学出版社
5.柳重堪，《应用泛函分析》国防工业出版社
6.夏道行，严绍宗，《实变函数与泛函分析》（首选教材）
7.J.P.Aubin，《Applied Functional Analysis》
8.王声望 郑维行《实变函数与泛函分析概要》（下）（第二版），高等教育出版社，1996年。（二选教材）
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