学位论文
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我的硕士学位论文主要包括以下几个方面的研究：（1）信号函数具有McCulloch-Pitts非线形的情形的一类简单的具有反馈的二元神经网络模型的动力学性质；由于信号函数的不连续性，动力系统的现有结果不能直接应用于模型动力学行为的定性研究。我们证明可借助于一维映射的迭代来理解该神经网络模型模型动力学特征。我获得了周期解的存在性和吸引性。这些结果可用于设计网络模型，在理论和应用中有着重要意义；（2）一类包括Hopfield神经网络和细胞神经网络在内的神经网络。我们通过利用Brower不动点理论、拓扑度方法、构造 Lyapunov函数方法、以及一些不等式技巧讨论了神经网络的平衡点和周期解的存在唯一性和全局指数稳定性以及指数收敛速率，我们获得了一些充分条件以保证神经网络的平衡点的存在性、唯一性和全局指数稳定性，并且给出了一些条件下指数收敛速率的估计值。（3）对于联想记忆神经网络模型，有多个分别对应于不同记忆模式的平衡点，要使网络正常工作，不仅希望它有稳定的平衡点，还希望平衡点有一定的可控指数稳定域，并使指数稳定域尽可能大。此外，网络的容错能力亦与这些平衡态的指数稳定域密切相关。此时，定性分析的目的是判断在何条件下这些平衡点是局部渐近稳定的，并估计指数稳定域。针对这些问题，我分别讨论了双向联想记忆(BAM) 神经网络模型平衡态的存在性和稳定性，以及联想记忆神经网络模型平衡态的指数稳定域。（参见详细摘要TEX格式）

我的博士学位论文主要论述具自反馈和时滞的环状连接神经网络的稳定性和分岔, 该网络具有on-center off-surround性质, 并且能够通过李群来刻画它的对称性. 这样网络出现在许多神经结构中, 例如大脑皮层、小脑和海马之中, 甚至于出现在化学和电力设计之中. 通过研究环状神经网络可以了解循环网络的基本机理. 毫无疑问, 系统的信号传输的时间延迟和空间结构(指关于二面体群$\Bbb{D}_n$的作用的不变性)所引起的无限维性质研究是一项很困难的任务. 关于对称时滞微分方程中的周期解的存在性和和全局持续存在性, 现在确实有一些一般性的理论. 然而, 将这些一般性的结果应用到具有on-center off-surround性质的具体系统中去, 包含着很多不平凡的的内容：(i)特征方程通常是超越的并且依赖于参数的变化, 很难分析它的零点分布; (ii)线性化系统所产生的连续半群的无穷小生成元的广义特征空间的对称性分析, 以及将该广义特征空间与$\Bbb{D}_n$的某两个恒同的绝对不可约表示的直和等同起来; (iii)在一般的Hopf分岔理论中, 与通常的横截性条件相应的横越数的计算; (iv)周期解的范数以及周期的界估计. 该论文组织如下：第一, 通过分析相应的超越特征方程来研究模型的线性的稳定性. 借助于空间分解, 我们巧妙地讨论了特征方程零点的分布, 并且导出保证所有的特征根具有负实部的一些充分条件, 即使得该模型是渐进稳定的. 第二, 借助于一般的Hopf分岔理论, 我们获得分岔周期解和它的持续存在性. 利用正规型和中心流形的计算, 我们推导了一些公式来判断环状连接神经网络模型分岔出的周期解的性质, 例如Hopf分岔方向与稳定性等等. 第三, 在某些适当的条件下, 系统存在了由纯量时滞微分方程所刻画的慢振动同步周期解. 即使纯量时滞微分方程的慢振动周期解是稳定的, 但是利用Floquet理论以及Krein-Rutmann定理, 我们可以证明当系统足够大时,对应的慢振动同步周期解都是不稳定的. 第四, 由时滞微分方程的对称分岔理论并结合二面体群的表示理论, 我们不仅在模式形成上调查了信号传播的突触产生时滞的效果, 而且获得了多个周期解分岔以及它们的空间模式(即, 镜面反射波, 驻波和离散波)等一些重要的结果. 而且, 我们分析分岔周期的稳定性. 另外, 我们证明了这些周期解的大范围存在性(即全局持续性), 并且考虑这些周期解的重合性. (参见详细摘要CTX格式)